Exemple de tenseur

Un champ électrique dans le $x $-direction produira une polarisation $ FLPP $ avec $x $-, $y $-, et $z $-Components; Nous pouvons écrire begin{Equation} label{Eq: II: 31:1} P_x = alpha_{xx}E_x, quad P_y = alpha_{yx}E_x, quad P_z = alpha_{zx}E_x. Si nous généralisons maintenant pour inclure les trois composants, le vecteur électrique $ FLPE $ dans toute direction nécessaire pour donner une densité d`énergie unitaire donne un point qui sera à la surface d`un ellipsoïde, comme le montre la Fig. Le même type d`argument peut, bien sûr, être donné pour $ alpha_{XZ} $, etc. Nous avons souligné dans le chapitre 30 que les propriétés des substances cristallines sont différentes dans différentes directions — nous disons qu`elles sont anisotropes. Pour les surfaces normales à ces axes, les contraintes sont particulièrement simples — elles correspondent à des poussées ou des extractions perpendiculaires aux surfaces. De même, la polarisation due à un champ électrique dans la direction $x $ aurait produit une polarisation avec une composante $x $ et une composante $y $. Cela signifie également que le tenseur de polarisation peut être mesuré en mesurant simplement l`énergie nécessaire pour polariser le cristal dans différentes directions. L`ensemble de neuf coefficients $ alpha_{IJ} $ est appelé un tenseur — dans ce cas, le tenseur de la polarisabilité. Par exemple, un bloc rectangulaire aura des moments différents sur chacun de ses trois axes orthogonaux. En mathématiques, un tenseur est un objet géométrique arbitrairement complexe qui mappe d`une manière (multi-) linéaire des vecteurs géométriques, des scalars et d`autres tenseurs à un tenseur résultant. Pour un cristal orthorhombique, cependant, les axes de l`ellipsoïde doivent correspondre aux axes de cristal, parce qu`une rotation $180 ^ circ $ sur l`un des trois axes répète le même treillis. Avant que la coupe ait été faite, il doit y avoir des forces entre les deux parties du bloc qui ont gardé le matériel en place; Nous pouvons définir les contraintes en fonction de ces forces.

Si $ FLPE $ a des composants le long $x $, $y $ et $z $, les composants résultants de $ FLPP $ seront la somme des trois contributions dans EQS. Les contraintes à l`intérieur d`un corps solide ou d`un fluide sont décrites par un champ tenseur. Définition. Réponse: ils ne peuvent être indépendants que s`ils sont expressibles en termes de tenseur $ delta_{IJ} $. Dans certaines régions, les champs tensoriels sont tellement omniprésents qu`ils sont simplement appelés “tenseurs”. Toutefois, le terme «grade» a généralement une autre signification dans le contexte des matrices et des tenseurs. La description complète des propriétés élastiques d`un cristal doit être donnée en termes de coefficients $ gamma_{ijkl} $. Mais si le moment d`inertie est différent pour les trois axes principaux, alors $ FLPomega $ et $ FLPL $ sont, en général, pas dans la même direction (voir fig.